Seja a função Determine o domínio de , a intersecção com os eixos e as simetrias (se houver).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A gente tem a função . O que precisamos fazer é determinar o domínio dessa função (ou seja, para quais valores de ela está definida), encontrar onde ela cruza os eixos (as intersecções com os eixos e ) e ver se ela tem alguma simetria. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre funções racionais, resolver equações quadráticas e analisar propriedades de simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio são todos os valores de que a gente pode colocar na função sem dar problema. Como a função é uma fração, a gente precisa garantir que o denominador nunca seja zero (porque divisão por zero não existe).
Então, vamos resolver a equação do denominador igual a zero:
Para resolver essa equação quadrática, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde , e . Calculando o discriminante ( ):
Agora, aplicando na fórmula:
Isso dá duas soluções:
Portanto, o denominador é zero quando e . Esses valores não estão no domínio da função.
Conclusão: O domínio de é todos os números reais exceto e , ou seja:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as intersecções com os eixos.
Interseção com o eixo :
Para achar onde a função cruza o eixo , a gente coloca na função:
Então, a interseção com o eixo é no ponto .
Interseções com o eixo :
Para achar onde a função cruza o eixo , a gente resolve . A fração será zero quando o numerador for zero (e o denominador não for zero).
Como e não fazem o denominador ser zero (lembrando que já excluímos e do domínio), esses são os pontos de interseção com o eixo .
Conclusão:
  • Interseção com o eixo :
  • Interseções com o eixo : e

Passo 4

Por último, vamos ver se a função tem alguma simetria. Uma função pode ser simétrica em relação ao eixo (é par), ao eixo ou à origem (é ímpar).
Verificando se é par (simetria em relação ao eixo ):
Uma função é par se .
Vamos calcular :
Comparando com , vemos que . Então, a função não é par.
Verificando se é ímpar (simetria em relação à origem):
Uma função é ímpar se .
Vamos calcular :
Comparando com , não são iguais. Então, a função não é ímpar.
Conclusão: A função não possui simetrias em relação ao eixo , eixo ou à origem.

Resposta

  • Domínio:
  • Interseções com os eixos:
    • Eixo :
    • Eixo : e
  • Simetrias: Não possui simetria.

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