Seja a função
Determine o domínio de
, a intersecção com os eixos e as simetrias (se houver).
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A gente tem a função
. O que precisamos fazer é determinar o domínio dessa função (ou seja, para quais valores de
ela está definida), encontrar onde ela cruza os eixos (as intersecções com os eixos
e
) e ver se ela tem alguma simetria. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre funções racionais, resolver equações quadráticas e analisar propriedades de simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio são todos os valores de
que a gente pode colocar na função sem dar problema. Como a função é uma fração, a gente precisa garantir que o denominador nunca seja zero (porque divisão por zero não existe).
Então, vamos resolver a equação do denominador igual a zero:
Para resolver essa equação quadrática, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
. Calculando o discriminante (
):
Agora, aplicando na fórmula:
Isso dá duas soluções:
Portanto, o denominador é zero quando
e
. Esses valores não estão no domínio da função.
Conclusão: O domínio de
é todos os números reais exceto
e
, ou seja:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as intersecções com os eixos.
Interseção com o eixo
:
Para achar onde a função cruza o eixo
, a gente coloca
na função:
Então, a interseção com o eixo
é no ponto
.
Interseções com o eixo
:
Para achar onde a função cruza o eixo
, a gente resolve
. A fração será zero quando o numerador for zero (e o denominador não for zero).
Como
e
não fazem o denominador ser zero (lembrando que já excluímos
e
do domínio), esses são os pontos de interseção com o eixo
.
Conclusão:
- Interseção com o eixo
: - Interseções com o eixo
: e
Passo 4
Por último, vamos ver se a função tem alguma simetria. Uma função pode ser simétrica em relação ao eixo
(é par), ao eixo
ou à origem (é ímpar).
Verificando se é par (simetria em relação ao eixo
):
Uma função é par se
.
Vamos calcular
:
Comparando com
, vemos que
. Então, a função não é par.
Verificando se é ímpar (simetria em relação à origem):
Uma função é ímpar se
.
Vamos calcular
:
Comparando com
, não são iguais. Então, a função não é ímpar.
Conclusão: A função não possui simetrias em relação ao eixo
, eixo
ou à origem.
Resposta
- Domínio:
- Interseções com os eixos:
- Eixo
: - Eixo
: e
- Eixo
- Simetrias: Não possui simetria.
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