Calcule as derivadas da função
dada por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular as derivadas da função
que está definida pela equação
. A gente vai precisar usar cálculo diferencial, mais especificamente a derivação implícita, porque
está misturado com
na equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é derivação implícita. Quando temos uma equação onde
está relacionado a
de uma forma que não é fácil isolar
, usamos a derivação implícita para encontrar
.
Passo 3
Vamos diferenciar ambos os lados da equação
em relação a
. Lembrando que
é função de
, então quando diferenciamos termos com
, usamos a regra da cadeia.
Passo 4
Diferenciando o lado esquerdo:
Aqui, usamos a regra do produto para
e
, e a regra da cadeia para
.
Passo 5
Diferenciando o lado direito:
Passo 6
Agora, igualamos as duas derivadas:
Passo 7
Vamos isolar
:
Passo 8
Simplificando
que aparece no numerador e denominador:
Passo 9
Mas lembre-se que a equação original é
. Podemos usar isso para expressar
em termos de
se necessário.
Resposta
A derivada da função
é
.
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Verifique se as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções para as respectivas equações diferenciais.
Encontre os extremos locais e globais, se houver, de
para
. Justifique as suas respostas.
Usando a derivação logarítmica, calcule a derivada da função