Calcule as derivadas da função dada por:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular as derivadas da função que está definida pela equação . A gente vai precisar usar cálculo diferencial, mais especificamente a derivação implícita, porque está misturado com na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é derivação implícita. Quando temos uma equação onde está relacionado a de uma forma que não é fácil isolar , usamos a derivação implícita para encontrar .

Passo 3

Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembrando que é função de , então quando diferenciamos termos com , usamos a regra da cadeia.

Passo 4

Diferenciando o lado esquerdo:
Aqui, usamos a regra do produto para e , e a regra da cadeia para .

Passo 5

Diferenciando o lado direito:

Passo 6

Agora, igualamos as duas derivadas:

Passo 7

Vamos isolar :

Passo 8

Simplificando que aparece no numerador e denominador:

Passo 9

Mas lembre-se que a equação original é . Podemos usar isso para expressar em termos de se necessário.

Resposta

A derivada da função é .

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