Encontre os extremos locais e globais, se houver, de para . Justifique as suas respostas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função e precisamos encontrar os extremos locais e globais dela no intervalo de a . Isso envolve derivadas para achar onde a função tem picos ou vales (os extremos) e comparar esses pontos dentro do intervalo para ver qual é o maior ou o menor valor (os extremos globais).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função, que nos ajuda a identificar onde a função tem extremos. A derivada de é:

Passo 3

Agora, precisamos achar os pontos críticos, ou seja, onde a derivada é zero ou não existe. Neste caso, a derivada sempre existe, então vamos resolver:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 6:

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática pela fórmula de Bhaskara:
Então, os pontos críticos são:

Passo 5

Vamos determinar se esses pontos são máximos ou mínimos usando o teste da segunda derivada. Primeiro, encontramos a segunda derivada:
Agora, avaliamos em cada ponto crítico:
  • Para :
í
  • Para :
á

Passo 6

Agora, para encontrar os extremos globais, precisamos avaliar a função nos pontos críticos e nas bordas do intervalo .
Calculando nesses pontos:

Passo 7

Comparando os valores:
  • Mínimo no ponto crítico :
  • Máximo no ponto crítico :
  • Avaliando as bordas: e
Portanto:
  • Mínimo Global: com
  • Máximo Global: com

Resposta

Os extremos locais da função são um mínimo em e um máximo em . O extremo global no intervalo é um máximo global em com e um mínimo global em com .

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(e) Usando as informações dos itens anteriores, faça um esboço do gráfico de . Use o quadriculado no verso da prova.