Encontre os extremos locais e globais, se houver, de
para
. Justifique as suas respostas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função
e precisamos encontrar os extremos locais e globais dela no intervalo de
a
. Isso envolve derivadas para achar onde a função tem picos ou vales (os extremos) e comparar esses pontos dentro do intervalo para ver qual é o maior ou o menor valor (os extremos globais).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função, que nos ajuda a identificar onde a função tem extremos. A derivada de
é:
Passo 3
Agora, precisamos achar os pontos críticos, ou seja, onde a derivada é zero ou não existe. Neste caso, a derivada sempre existe, então vamos resolver:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 6:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática
pela fórmula de Bhaskara:
Então, os pontos críticos são:
Passo 5
Vamos determinar se esses pontos são máximos ou mínimos usando o teste da segunda derivada. Primeiro, encontramos a segunda derivada:
Agora, avaliamos em cada ponto crítico:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Agora, para encontrar os extremos globais, precisamos avaliar a função nos pontos críticos e nas bordas do intervalo
.
Calculando
nesses pontos:
Passo 7
Comparando os valores:
- Mínimo no ponto crítico
: - Máximo no ponto crítico
: - Avaliando as bordas:
e
Portanto:
- Mínimo Global:
com - Máximo Global:
com
Resposta
Os extremos locais da função são um mínimo em
e um máximo em
. O extremo global no intervalo
é um máximo global em
com
e um mínimo global em
com
.
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(e) Usando as informações dos itens anteriores, faça um esboço do gráfico de
. Use o quadriculado no verso da prova.
(e)