Verifique se as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções para as respectivas equações diferenciais.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de quarta ordem:
. A pergunta é para verificar se as funções
,
,
e
formam um conjunto fundamental de soluções para essa equação. Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e à solução de equações características.
Passo 2
Para resolver isso, precisamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial dada. A equação característica nos ajuda a encontrar as soluções gerais da equação diferencial homogênea.
Passo 3
A equação diferencial dada é
. Vamos substituir
por
para obter a equação característica:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação característica:
Isso nos dá as raízes:
Passo 5
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Aqui,
,
,
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Observando a solução geral, vemos que as funções
,
,
e
aparecem na expressão. Isso significa que elas são soluções lineares e independentes da equação diferencial.
Passo 7
Para que um conjunto de funções forme um conjunto fundamental de soluções, elas precisam ser linearmente independentes e abranger todas as soluções gerais da equação diferencial. Como temos quatro soluções independentes para uma equação de quarta ordem, elas formam um conjunto fundamental.
Resposta
Sim, as funções
,
,
e
formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial
.
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