Verifique se as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções para as respectivas equações diferenciais.
y^(4) + y^(2) = 0 ; 1, t, cos(t), sen(t)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de quarta ordem: . A pergunta é para verificar se as funções , , e formam um conjunto fundamental de soluções para essa equação. Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e à solução de equações características.

Passo 2

Para resolver isso, precisamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial dada. A equação característica nos ajuda a encontrar as soluções gerais da equação diferencial homogênea.

Passo 3

A equação diferencial dada é . Vamos substituir por para obter a equação característica:

Passo 4

Agora, resolvemos a equação característica:
Isso nos dá as raízes:

Passo 5

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Aqui, , , e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Observando a solução geral, vemos que as funções , , e aparecem na expressão. Isso significa que elas são soluções lineares e independentes da equação diferencial.

Passo 7

Para que um conjunto de funções forme um conjunto fundamental de soluções, elas precisam ser linearmente independentes e abranger todas as soluções gerais da equação diferencial. Como temos quatro soluções independentes para uma equação de quarta ordem, elas formam um conjunto fundamental.

Resposta

Sim, as funções , , e formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial .

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