Usando a derivação logarítmica, calcule a derivada da função

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada usando a derivação logarítmica. A questão pede para calcular a derivada da função:
Para isso, vamos precisar saber como aplicar a derivação logarítmica, que é uma técnica útil quando temos funções que são produtos, quocientes ou potências complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação. Isso facilita a derivação, especialmente quando lidamos com produtos e quocientes:

Passo 3

Agora, usando as propriedades dos logaritmos, podemos separar os termos:

Passo 4

Simplificamos cada termo usando as propriedades dos logaritmos:
Então:

Passo 5

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a . Lembre-se que a derivada de é :

Passo 6

Calculamos cada derivada individualmente:
Substituindo:

Passo 7

Simplificamos a expressão:

Passo 8

Agora, isolamos multiplicando ambos os lados por :

Passo 9

Finalmente, substituímos pela função original:

Resposta

A derivada da função é:

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