Calcule as derivadas das funções abaixo

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisamos encontrar a derivada dela. Aqui, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre derivadas de funções compostas e quocientes. Para isso, vamos precisar entender a regra do quociente e como derivar funções logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Lembra que ? Então, podemos reescrever o numerador assim:
E como , fica:
Então, agora nossa função fica:

Passo 3

Agora, vamos derivar . Quando temos uma função que é uma fração, ou seja, algo do tipo , usamos a Regra do Quociente para derivar. A regra diz que:
Aqui, e .

Passo 4

Vamos encontrar e separadamente.
Primeiro, para :
  • A derivada de é , então deriva para .
  • A derivada de é 1.
Então:
Agora, para :
  • A derivada de é .
  • A derivada de 1 é 0.
Então:

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra do Quociente:
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 6

Vamos expandir cada parte:
Primeiro, :
Segundo, :

Passo 7

Agora, substituímos de volta na expressão de :
Vamos combinar os termos semelhantes:
Simplificando mais:

Passo 8

Podemos fatorar um -3 da parte que tem e para simplificar melhor:
Mas, já que não há um grande ganho em simplificação adicional, podemos deixar a resposta assim.

Resposta

A derivada da função é:

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Expresse em termos de e de , em que é uma função diferenciável dada implicitamente por: