Calcule as derivadas das funções abaixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisamos encontrar a derivada dela. Aqui, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre derivadas de funções compostas e quocientes. Para isso, vamos precisar entender a regra do quociente e como derivar funções logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Lembra que
? Então, podemos reescrever o numerador assim:
E como
, fica:
Então, agora nossa função
fica:
Passo 3
Agora, vamos derivar
. Quando temos uma função que é uma fração, ou seja, algo do tipo
, usamos a Regra do Quociente para derivar. A regra diz que:
Aqui,
e
.
Passo 4
Vamos encontrar
e
separadamente.
Primeiro, para :
Primeiro, para
- A derivada de
é , então deriva para . - A derivada de
é 1.
Então:
Agora, para
:
- A derivada de
é . - A derivada de 1 é 0.
Então:
Passo 5
Agora, aplicamos a Regra do Quociente:
Vamos simplificar isso passo a passo.
Passo 6
Vamos expandir cada parte:
Primeiro,
:
Segundo,
:
Passo 7
Agora, substituímos de volta na expressão de
:
Vamos combinar os termos semelhantes:
Simplificando mais:
Passo 8
Podemos fatorar um -3 da parte que tem
e
para simplificar melhor:
Mas, já que não há um grande ganho em simplificação adicional, podemos deixar a resposta assim.
Resposta
A derivada da função é:
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Calcule
e
onde
e
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Expresse
em termos de
e de
, em que
é uma função diferenciável dada implicitamente por: