Expresse d/y d/x em termos de x e de y, em que y = f(x) é uma função diferenciável dada implicitamente por:
y^5 + cos(y) = 3 x^2

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver uma derivada usando diferenciação implícita. O exercício nos dá a equação e pede para expressar em termos de e . Para isso, vamos precisar saber como diferenciar funções onde depende de , mesmo que não estejamos resolvendo para diretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Isso significa que a gente vai aplicar a derivada em cada termo da equação:

Passo 3

Vamos diferenciar cada termo individualmente:
  1. Diferenciando :
    • Usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é .
  2. Diferenciando :
    • A derivada de é .
  3. Diferenciando :
    • A derivada de é .
Então, a equação fica:

Passo 4

Agora, vamos fatorar dos termos que estão do lado esquerdo da equação:

Passo 5

Por fim, queremos isolar . Para isso, dividimos ambos os lados da equação por :

Resposta

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