Calcule as derivadas das funções abaixo f(t) = (t^2 / (1 + t), t - raiz(t), cos(t^2)).

Passo 1

Então, temos a função vetorial . Nosso objetivo aqui é calcular a derivada dessa função em relação a . Vamos precisar usar as regras de derivação para funções racionais, funções de raiz e funções trigonométricas compostas.

Passo 2

Vamos começar derivando a primeira componente da função: . Para isso, usamos a regra do quociente, que diz que a derivada de é .
Primeiro, identifiquemos:
  • então
  • então
Aplicando a regra do quociente:

Passo 3

Agora, vamos derivar a segunda componente: .
A derivada de em relação a é simplesmente 1. Para , lembramos que , então sua derivada é .
Portanto:

Passo 4

Por fim, vamos derivar a terceira componente: .
Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de é , onde e .
Aplicando a regra:

Resposta

A derivada da função é:

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