Calcule as derivadas das funções abaixo f(t) = (e^(-t), arctan(t), t^5).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede pra calcular a derivada da função vetorial f(t) = (e^(-t), arctan(t), t^5). A matéria aqui é cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções vetoriais. O que a gente precisa fazer é derivar cada componente dessa função separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a primeira componente: e^(-t). A derivada de uma função exponencial do tipo , onde k é uma constante, é . Aqui, , então a derivada de e^(-t) é:

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: . A derivada da função arco-tangente é conhecida e é dada por:
Isso vem da regra da cadeia aplicada na derivada das funções trigonométricas inversas.

Passo 4

Por último, vamos derivar a terceira componente: . Para isso, usamos a regra do poder, que diz que . Aplicando isso:

Resposta

Juntando as derivadas de cada componente, a derivada da função vetorial é:

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