Verifique a continuidade de
em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função vetorial
e precisamos verificar se ela é contínua em
. Para isso, vamos usar o conceito de continuidade de funções e analisar cada componente dessa função separadamente, já que uma função vetorial é contínua se todas as suas partes forem contínuas no ponto considerado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua em um ponto. Basicamente, uma função
é contínua em
se o limite de
quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Vamos aplicar isso para cada componente da nossa função
.
Passo 3
Vamos começar com a primeira componente:
. Sabemos que
é uma função contínua em todo lugar, e o produto de funções contínuas também é contínuo. Além disso,
, então:
Portanto, a primeira componente é contínua em
.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda componente:
. A função raiz quadrada
é contínua para
, ou seja, para
. Como estamos analisando
, está dentro do domínio. Calculando o limite:
Então, a segunda componente também é contínua em
.
Passo 5
Por último, vamos verificar a terceira componente:
. Potências de
são funções polinomiais, que são contínuas em todo ponto real. Calculando o limite:
Assim, a terceira componente é contínua em
.
Resposta
Como todas as componentes de
são contínuas em
, a função vetorial
é contínua nesse ponto.
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