Verifique a continuidade de em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função vetorial e precisamos verificar se ela é contínua em . Para isso, vamos usar o conceito de continuidade de funções e analisar cada componente dessa função separadamente, já que uma função vetorial é contínua se todas as suas partes forem contínuas no ponto considerado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua em um ponto. Basicamente, uma função é contínua em se o limite de quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Vamos aplicar isso para cada componente da nossa função .

Passo 3

Vamos começar com a primeira componente: . Sabemos que é uma função contínua em todo lugar, e o produto de funções contínuas também é contínuo. Além disso, , então:
Portanto, a primeira componente é contínua em .

Passo 4

Agora, vamos para a segunda componente: . A função raiz quadrada é contínua para , ou seja, para . Como estamos analisando , está dentro do domínio. Calculando o limite:
Então, a segunda componente também é contínua em .

Passo 5

Por último, vamos verificar a terceira componente: . Potências de são funções polinomiais, que são contínuas em todo ponto real. Calculando o limite:
Assim, a terceira componente é contínua em .

Resposta

Como todas as componentes de são contínuas em , a função vetorial é contínua nesse ponto.

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