Calcule as derivadas das funções abaixo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas de funções vetoriais! A gente tem uma função que depende de e precisa encontrar a derivada de cada uma das suas componentes. Para isso, vamos usar algumas regras de derivação como a regra do produto, a regra do quociente e também conhecer as derivadas de funções trigonométricas como a .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a primeira componente da função:
Aqui, temos um produto entre e . Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Então, vamos identificar e :
Agora, aplicando a regra do produto:

Passo 3

Agora, vamos derivar a segunda componente:
Aqui, usamos a regra do quociente, que afirma que a derivada de é .
Identificando e :
Aplicando a regra do quociente:

Passo 4

Por fim, vamos derivar a terceira componente:
Sabemos que a derivada de é:
Isso vem da derivada das funções trigonométricas, onde usamos as identidades de derivação para .

Resposta

A derivada da função é:

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Calcule o limite onde .