Calcule as derivadas das funções abaixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas de funções vetoriais! A gente tem uma função que depende de
e precisa encontrar a derivada de cada uma das suas componentes. Para isso, vamos usar algumas regras de derivação como a regra do produto, a regra do quociente e também conhecer as derivadas de funções trigonométricas como a
.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a primeira componente da função:
Aqui, temos um produto entre
e
. Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Então, vamos identificar
e
:
Agora, aplicando a regra do produto:
Passo 3
Agora, vamos derivar a segunda componente:
Aqui, usamos a regra do quociente, que afirma que a derivada de
é
.
Identificando
e
:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 4
Por fim, vamos derivar a terceira componente:
Sabemos que a derivada de
é:
Isso vem da derivada das funções trigonométricas, onde usamos as identidades de derivação para
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Resposta
A derivada da função
é:
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Calcule o limite
onde
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