Calcule as derivadas das funções abaixo
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma função vetorial
. Nosso objetivo é encontrar a derivada dessa função em relação a
. Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra do produto, a regra da cadeia e as propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Vamos derivar a primeira componente da função:
. Aqui, temos um produto de duas funções:
e
. Para derivar produtos, usamos a regra do produto, que diz que:
Passo 3
Aplicando a regra do produto para
:
Sabemos que
e
. Então:
Passo 4
Agora, vamos derivar a segunda componente:
. A derivada de uma constante (
) é zero, então focamos em
.
Podemos reescrever
como
.
Passo 5
Usando a regra da cadeia para derivar
:
Calculando a derivada interna:
Então:
Passo 6
Por fim, vamos derivar a terceira componente:
. Podemos simplificar usando as propriedades dos logaritmos:
Passo 7
Derivando
:
Resposta
A derivada da função
é:
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.
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.
Calcule o limite
onde
.
Determine se
é contínua em
.