Calcule as derivadas das funções abaixo .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma função vetorial . Nosso objetivo é encontrar a derivada dessa função em relação a . Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra do produto, a regra da cadeia e as propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Vamos derivar a primeira componente da função: . Aqui, temos um produto de duas funções: e . Para derivar produtos, usamos a regra do produto, que diz que:

Passo 3

Aplicando a regra do produto para :
Sabemos que e . Então:

Passo 4

Agora, vamos derivar a segunda componente: . A derivada de uma constante ( ) é zero, então focamos em .
Podemos reescrever como .

Passo 5

Usando a regra da cadeia para derivar :
Calculando a derivada interna:
Então:

Passo 6

Por fim, vamos derivar a terceira componente: . Podemos simplificar usando as propriedades dos logaritmos:

Passo 7

Derivando :

Resposta

A derivada da função é:

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Determine se é contínua em .