Calcule o limite lim t 0 r(t) onde r(t)=(t sin (t), e^t^2, ln (t+1)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando se aproxima de 0 da função vetorial . Isso envolve entender como cada componente da função se comporta perto de . Para resolver, vamos calcular o limite de cada uma dessas partes individualmente.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira componente: limt to 0 t sin(t) approx limt to 0 t cdot t = limt to 0 t^2 = 0 . Sabemos que o seno de para valores pequenos de pode ser aproximado por . Então, temos:
Portanto, o limite da primeira componente é 0.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: limt to 0 e^t^2 = e^0 = 1 . A função exponencial é contínua em todo lugar, o que significa que podemos simplesmente substituir na expressão:
Então, o limite da segunda componente é 1.

Passo 4

Por último, temos a terceira componente: limt to 0 ln(t+1) = ln(1) = 0 . A função logaritmo natural também é contínua quando o argumento é positivo, então novamente substituímos :
Assim, o limite da terceira componente é 0.

Resposta

O limite da função vetorial limt to 0 r(t) = (0, 1, 0) quando se aproxima de 0 é:

Exercícios relacionados