Calcule o limite
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando
se aproxima de 0 da função vetorial
. Isso envolve entender como cada componente da função se comporta perto de
. Para resolver, vamos calcular o limite de cada uma dessas partes individualmente.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a primeira componente:
. Sabemos que o seno de
para valores pequenos de
pode ser aproximado por
. Então, temos:
Portanto, o limite da primeira componente é 0.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda componente:
. A função exponencial é contínua em todo lugar, o que significa que podemos simplesmente substituir
na expressão:
Então, o limite da segunda componente é 1.
Passo 4
Por último, temos a terceira componente:
. A função logaritmo natural também é contínua quando o argumento é positivo, então novamente substituímos
:
Assim, o limite da terceira componente é 0.
Resposta
O limite da função vetorial
quando
se aproxima de 0 é:
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.
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.
Determine se
é contínua em
.
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.