Calcule as derivadas das funções abaixo f(t) = (t^3 - 8, ln(t^2), sen(t^2 - 4)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular as derivadas da função vetorial f(t) = (t^3 - 8, ln(t^2), sen(t^2 - 4)). Isso está na matéria de Cálculo, mais especificamente sobre derivadas de funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras básicas de derivação, como a regra do poder, a regra do logaritmo e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a primeira componente da função: . Aqui, usamos a regra do poder, que diz que a derivada de é . Aplicando isso:
E a derivada de uma constante, como , é zero. Então:

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: . Aqui, precisamos usar a regra da cadeia, porque temos uma função composta (o logaritmo de ). A derivada de é .
Primeiro, identifiquemos , então . Aplicando a regra:

Passo 4

Vamos para a terceira componente: . Aqui tamb��m usamos a regra da cadeia, já que temos o seno de uma função composta. A derivada de é .
Identificando , temos . Então:

Resposta

A derivada da função é:

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