Calcule o limite lim t infty r(t) para r(t)=(t^-3, cos (t), raizt^2+1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de uma função vetorial r(t) quando t vai para o infinito. A função é dada por r(t)=(t^-3, cos(t), raizt^2+1). Vamos precisar saber sobre limites de funções escalares e como aplicá-los a cada componente do vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira componente: t^-3. Isso significa 1t^3. Quando t cresce cada vez mais, t^3 também cresce muito, então 1t^3 vai ficando cada vez menor.
Teoria: O limite de 1t^n quando t vai para o infinito é 0, para qualquer n > 0.
Então, limt to infty t^-3 = 0.

Passo 3

Agora, a segunda componente: cos(t). A função cosseno oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de t. Não importa o quanto t cresça, o cos(t) nunca vai sair desse intervalo.
Teoria: Se uma função oscila sem se aproximar de nenhum valor específico, o limite não existe.
Então, limt to infty cos(t) não existe.

Passo 4

Por último, vamos para a terceira componente: raizt^2+1. Quando t fica muito grande, t^2 domina sobre o 1 dentro da raiz. Podemos simplificar:
raizt^2+1 approx raizt^2 = |t|. Como t vai para o infinito positivo, isso vira t.
Teoria: limt to infty raizt^2+a = t, onde a é uma constante.
Então, limt to infty raizt^2+1 = infty.

Resposta

O limite da função vetorial r(t) quando t tende ao infinito é:
lim t infty r(t) = (0, não existe, infty) ã

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