Calcule o limite .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de uma função vetorial quando vai para o infinito. A função é dada por . Vamos precisar saber sobre limites de funções escalares e como aplicá-los a cada componente do vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira componente: . Isso significa . Quando cresce cada vez mais, também cresce muito, então vai ficando cada vez menor.
Teoria: O limite de quando vai para o infinito é 0, para qualquer .
Então, .

Passo 3

Agora, a segunda componente: . A função cosseno oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de . Não importa o quanto cresça, o nunca vai sair desse intervalo.
Teoria: Se uma função oscila sem se aproximar de nenhum valor específico, o limite não existe.
Então, não existe.

Passo 4

Por último, vamos para a terceira componente: . Quando fica muito grande, domina sobre o 1 dentro da raiz. Podemos simplificar:
. Como vai para o infinito positivo, isso vira .
Teoria: , onde é uma constante.
Então, .

Resposta

O limite da função vetorial quando tende ao infinito é:
ã

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