Calcule as derivadas das funções abaixo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para encontrar as derivadas da função vetorial . Aqui, vamos usar conceitos de derivadas de funções componentes e aplicar algumas regras básicas de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a função é composta por três funções componentes:
Para encontrar a derivada da função vetorial, vamos derivar cada uma dessas componentes individualmente.

Passo 3

Vamos começar com a primeira componente:
A derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda componente:
Para derivar , usamos a regra da cadeia. Primeiro, identificamos a função externa onde . A derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é . Então:

Passo 5

Por fim, vamos derivar a terceira componente:
Mais uma vez, aplicamos a regra da cadeia. A função externa é onde . A derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é . Então:
Podemos simplificar ainda mais usando identidades trigonométricas:

Resposta

A derivada da função é:

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Calcule as derivadas das funções abaixo .
Verifique que .
Calcule o limite .
Determine a continuidade da função .