Determine se
é contínua em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a função
é contínua em
. Isso envolve entender o que é continuidade e quais partes da função precisamos analisar para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em
se:
- A função está definida em
. - O limite da função quando
se aproxima de existe. - O limite da função é igual ao valor da função em
.
No nosso caso, como temos uma função vetorial com várias componentes, precisamos verificar a continuidade de cada componente em
.
Passo 3
Vamos analisar a primeira componente da função:
.
Essa é uma função polinomial, e sabemos que polinômios são contínuos em todo lugar. Ou seja,
é contínua em
.
Passo 4
Agora, a segunda componente:
.
A função seno é contínua para todo número real, e
também é um polinômio, portanto contínuo. A composição de funções contínuas é contínua, então
é contínua em
.
Passo 5
Por último, a terceira componente:
.
A função logaritmo natural
é contínua para
. Em
, temos
, que é maior que zero. Portanto,
é contínua em
.
Passo 6
Como cada componente da função
é contínua em
, concluímos que a função vetorial
também é contínua nesse ponto.
Resposta
A função
é contínua em
.
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onde
.
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.
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.
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.