Determine se é contínua em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a função é contínua em . Isso envolve entender o que é continuidade e quais partes da função precisamos analisar para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se:
  1. A função está definida em .
  2. O limite da função quando se aproxima de existe.
  3. O limite da função é igual ao valor da função em .
No nosso caso, como temos uma função vetorial com várias componentes, precisamos verificar a continuidade de cada componente em .

Passo 3

Vamos analisar a primeira componente da função: .
Essa é uma função polinomial, e sabemos que polinômios são contínuos em todo lugar. Ou seja, é contínua em .

Passo 4

Agora, a segunda componente: .
A função seno é contínua para todo número real, e também é um polinômio, portanto contínuo. A composição de funções contínuas é contínua, então é contínua em .

Passo 5

Por último, a terceira componente: .
A função logaritmo natural é contínua para . Em , temos , que é maior que zero. Portanto, é contínua em .

Passo 6

Como cada componente da função é contínua em , concluímos que a função vetorial também é contínua nesse ponto.

Resposta

A função é contínua em .

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