Calcule as derivadas das funções abaixo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função vetorial . Isso envolve entender como derivar cada componente dessa função separadamente. Para isso, vamos usar algumas regras básicas de derivação, como a regra do produto, a regra da cadeia e a regra do poder.

Passo 2

Vamos começar com a primeira componente da função: .
Aqui, temos um produto de duas funções: e . Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Aplicando a regra do produto:
Calculando as derivadas individuais:
Então:

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: .
A constante terá derivada zero, então precisamos focar em . A derivada de em relação a é , e aqui .
Usamos a regra da cadeia, que é necessária quando temos uma função dentro de outra função.
Calculando a derivada interna:
Então:

Passo 4

Por fim, a terceira componente: .
Aqui usamos a regra do poder, que diz que a derivada de é .
Aplicando a regra do poder:

Resposta

A derivada da função é:

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Verifique a continuidade de .
Verifique que .