Calcule as derivadas das funções abaixo: f(x) = arccos(sen x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função . Vamos usar o conteúdo de derivadas, especificamente a regra da cadeia, que é essencial quando temos funções compostas. Vamos precisar saber a derivada da função arco cosseno e a derivada da função seno.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções compostas aqui. Temos a função arco cosseno , onde . Para derivar , vamos aplicar a regra da cadeia.

Passo 3

A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta é . No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos calcular a derivada de . A derivada de em relação a é:

Passo 5

Agora, calculamos a derivada de em relação a :

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos as duas derivadas que encontramos:

Passo 7

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Então:

Passo 8

A raiz quadrada de é . Portanto:
Dependendo do sinal de , isso simplifica para ou .

Resposta

A derivada de é:

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