O raio de uma esfera de aço mede
e sabe-se que o erro cometido em sua medição não excede 0,1 centímetros. O volume da esfera é calculado a partir da medida de seu raio usando-se a fórmula
. Estime o erro possível no cálculo do volume.
Passo 1
Então, a gente tem uma esfera de aço cujo raio é de
, mas a medição desse raio pode ter um erro de até
. A gente quer descobrir qual pode ser o erro no cálculo do volume dessa esfera. Para isso, vamos usar a fórmula do volume de uma esfera, que é
. Vamos precisar entender um pouquinho de derivadas para estimar esse erro no volume.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do volume da esfera:
Aqui,
é o volume e
é o raio da esfera.
Passo 3
Para estimar o erro no volume devido ao erro no raio, vamos usar a ideia de derivada. A derivada de
em relação a
nos mostra como o volume muda quando o raio muda. Matemáticamente, ela é representada por
.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Então,
.
Passo 5
Agora, para estimar o erro no volume (
), multiplicamos a derivada pelo erro no raio (
):
Passo 6
Vamos substituir os valores que temos:
e
:
Passo 7
Calculando passo a passo:
Então:
Resposta
O erro estimado no cálculo do volume da esfera é aproximadamente
, ou seja, cerca de
.
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, determine: Intervalos crescentes e decrescentes;
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, onde P , E e I são constantes, x é a distância em metros da extremidade esquerda, e
. Ache a flexão máxima.