O raio de uma esfera de aço mede 1,5 cm e sabe-se que o erro cometido em sua medição não excede 0,1 centímetros. O volume da esfera é calculado a partir da medida de seu raio usando-se a fórmula V = (4/3) pi r^3. Estime o erro possível no cálculo do volume.

Passo 1

Então, a gente tem uma esfera de aço cujo raio é de 1,5 cm, mas a medição desse raio pode ter um erro de até 0,1 cm. A gente quer descobrir qual pode ser o erro no cálculo do volume dessa esfera. Para isso, vamos usar a fórmula do volume de uma esfera, que é . Vamos precisar entender um pouquinho de derivadas para estimar esse erro no volume.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do volume da esfera:
Aqui, V é o volume e r é o raio da esfera.

Passo 3

Para estimar o erro no volume devido ao erro no raio, vamos usar a ideia de derivada. A derivada de V em relação a r nos mostra como o volume muda quando o raio muda. Matemáticamente, ela é representada por .

Passo 4

Vamos calcular a derivada de V em relação a r:
Então, .

Passo 5

Agora, para estimar o erro no volume ( ), multiplicamos a derivada pelo erro no raio ( ):

Passo 6

Vamos substituir os valores que temos: e :

Passo 7

Calculando passo a passo:
Então:

Resposta

O erro estimado no cálculo do volume da esfera é aproximadamente , ou seja, cerca de .

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