A flexão de uma barra de 40 metros de comprimento apoiado nas extremidades e carregada no ponto a 30 metros da extremidade esquerda é expressa pela equação
, onde P , E e I são constantes, x é a distância em metros da extremidade esquerda, e
. Ache a flexão máxima.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. A gente tem uma barra de 40 metros que tá apoiada nas duas extremidades e recebe uma carga a 30 metros da esquerda. A flexão dessa barra é dada por
, onde
,
e
são constantes, e
varia entre 0 e 30 metros. Nosso objetivo aqui é descobrir onde essa barra sofre a maior flexão, ou seja, encontrar o valor máximo de
.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na parte da equação que muda com
:
. A flexão total
é basicamente essa função
multiplicada por umas constantes. Então, pra achar onde
é máximo, basta a gente achar onde
atinge o maior valor.
Passo 3
Pra achar o valor máximo de uma função, a gente usa cálculo diferencial. Precisamos achar a derivada de
em relação a
e ver onde essa derivada é igual a zero. Esses pontos onde a derivada é zero são chamados de pontos críticos e podem ser máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
:
Passo 5
Agora, igualamos a derivada a zero para achar os pontos críticos:
Resolvendo para
:
Passo 6
Pra garantir que esse ponto é realmente um máximo, a gente pode olhar a segunda derivada ou simplesmente notar que a função
tem a forma de um polinômio cúbico que atinge um pico nesse valor de
. Assim, temos certeza de que a flexão é máxima lá.
Resposta
A flexão máxima ocorre aproximadamente a
metros da extremidade esquerda.
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