A flexão de uma barra de 40 metros de comprimento apoiado nas extremidades e carregada no ponto a 30 metros da extremidade esquerda é expressa pela equação y = P / (3 E I) * (200 x - (x^3 / 8)), onde P , E e I são constantes, x é a distância em metros da extremidade esquerda, e 0 < x < 30. Ache a flexão máxima.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. A gente tem uma barra de 40 metros que tá apoiada nas duas extremidades e recebe uma carga a 30 metros da esquerda. A flexão dessa barra é dada por , onde , e são constantes, e varia entre 0 e 30 metros. Nosso objetivo aqui é descobrir onde essa barra sofre a maior flexão, ou seja, encontrar o valor máximo de .

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na parte da equação que muda com : . A flexão total é basicamente essa função multiplicada por umas constantes. Então, pra achar onde é máximo, basta a gente achar onde atinge o maior valor.

Passo 3

Pra achar o valor máximo de uma função, a gente usa cálculo diferencial. Precisamos achar a derivada de em relação a e ver onde essa derivada é igual a zero. Esses pontos onde a derivada é zero são chamados de pontos críticos e podem ser máximos, mínimos ou pontos de inflexão.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de :

Passo 5

Agora, igualamos a derivada a zero para achar os pontos críticos:
Resolvendo para :

Passo 6

Pra garantir que esse ponto é realmente um máximo, a gente pode olhar a segunda derivada ou simplesmente notar que a função tem a forma de um polinômio cúbico que atinge um pico nesse valor de . Assim, temos certeza de que a flexão é máxima lá.

Resposta

A flexão máxima ocorre aproximadamente a metros da extremidade esquerda.

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