Mostre os seguintes itens abaixo

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a derivada da função é igual a . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente de derivadas de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar lembrar como derivar funções básicas e aplicar algumas identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a função . Ela é a função cossecante, definida como:
Isso significa que é o inverso do seno de .

Passo 3

Agora, queremos encontrar a derivada dessa função em relação a . Ou seja, queremos calcular:

Passo 4

Para derivar , podemos usar a regra da cadeia. Vamos reescrever a função como para facilitar a derivação:

Passo 5

Aplicando a regra da potência, onde a derivada de com respeito a é , temos:

Passo 6

Agora, vamos reescrever a expressão em termos de e .
Sabemos que:

Passo 7

Substituindo essas definições na expressão da derivada, temos:

Resposta

Portanto, mostramos que:

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Determine a reta tangente às seguintes curvas no ponto indicado. Esboce o gráfico em cada caso.
Calcule as derivadas das funções abaixo:
Calcule a derivada das seguintes funções
Calcule a derivada das seguintes funções