Calcule as derivadas das funções abaixo:

Passo 1

Vamos calcular a derivada da função . Para isso, vamos usar o conhecimento de derivadas de funções compostas e a regra da cadeia. Precisaremos entender como derivar a função arco-tangente e como aplicar a regra da cadeia para funções dentro de funções.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a função é uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. Ela pode ser vista como , onde .

Passo 3

Sabemos que a derivada da função arco-tangente é dada por:
Isso nos ajuda a encontrar a derivada externa da nossa função composta.

Passo 4

Agora, precisamos derivar a função interna em relação a . Podemos reescrever como .

Passo 5

Aplicando a regra do poder para derivar , temos:

Passo 6

Agora, aplicamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa avaliada na função interna multiplicada pela derivada da função interna:
Substituindo e :

Passo 7

Simplificamos a expressão:
Portanto:

Resposta

A derivada da função é:

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