Calcule as derivadas das funções abaixo:
Passo 1
Vamos calcular a derivada da função
. Para isso, vamos usar o conhecimento de derivadas de funções compostas e a regra da cadeia. Precisaremos entender como derivar a função arco-tangente e como aplicar a regra da cadeia para funções dentro de funções.
Passo 2
Primeiro, identificamos que a função
é uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. Ela pode ser vista como
, onde
.
Passo 3
Sabemos que a derivada da função arco-tangente é dada por:
Isso nos ajuda a encontrar a derivada externa da nossa função composta.
Passo 4
Agora, precisamos derivar a função interna
em relação a
. Podemos reescrever
como
.
Passo 5
Aplicando a regra do poder para derivar
, temos:
Passo 6
Agora, aplicamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa avaliada na função interna multiplicada pela derivada da função interna:
Substituindo
e
:
Passo 7
Simplificamos a expressão:
Portanto:
Resposta
A derivada da função
é:
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