Cálcule as derivadas das funções abaixo. ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função . Isso envolve o conteúdo de derivadas, especificamente a regra da cadeia, que usamos quando temos funções compostas. Para resolver, vamos precisar lembrar como derivar funções logarítmicas e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que compõem a função composta. Aqui, temos duas funções dentro da função logarítmica:
  1. A função externa: , onde .
  2. A função interna: .

Passo 3

Vamos lembrar como derivar a função logarítmica. A derivada de em relação a é:
Isso significa que precisamos derivar em relação a e multiplicar pelo inverso de .

Passo 4

Agora, vamos derivar . Para isso, usamos a derivada da função seno, que é:
Aqui, , então sua derivada .

Passo 5

Juntando tudo, temos:
Isso simplifica para:

Resposta

A derivada da função é .

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