Calcule as derivadas das funções abaixo

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar a derivada da função . Aqui estamos trabalhando com derivadas, um conceito fundamental no Cálculo, mais especificamente na derivação de funções compostas. Para isso, vamos precisar usar a Regra do Poder e a Regra da Cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a estrutura da função que queremos derivar. A função é composta de uma função logarítmica elevada ao cubo. Isso significa que temos uma função aninhada dentro de outra, o que é perfeito para aplicar a Regra da Cadeia.

Passo 3

A Regra do Poder nos diz que se temos uma função do tipo , onde é uma constante, a derivada dela é . No nosso caso, e .

Passo 4

Aplicando a Regra do Poder, a derivada de fica:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a derivada de . Para isso, usamos a Regra da Cadeia novamente. A derivada de em relação a é , então:

Passo 6

Derivando em relação a , obtemos:

Passo 7

Substituindo essa derivada de volta na expressão anterior:

Passo 8

Agora, voltando à expressão da derivada de :

Passo 9

Simplificando os termos, multiplicamos os coeficientes:

Resposta

A derivada da função é:

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A população de uma pequena cidade é dada por
onde é o tempo en anos. Calcule os valores da população depois de 2, 4, 6 anos, e as taxas instantâneas de crescimento para esses mesmos valores de . Suponha que a taxa se estabilize a partir de , qual será a população ao final de 10 anos? Compare esse valor com o valor real .
Calcule as derivadas das funções abaixo
Calcule as derivadas abaixo:
(b)