Calcule as derivadas das funções abaixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar a derivada da função
. Aqui estamos trabalhando com derivadas, um conceito fundamental no Cálculo, mais especificamente na derivação de funções compostas. Para isso, vamos precisar usar a Regra do Poder e a Regra da Cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a estrutura da função que queremos derivar. A função
é composta de uma função logarítmica
elevada ao cubo. Isso significa que temos uma função aninhada dentro de outra, o que é perfeito para aplicar a Regra da Cadeia.
Passo 3
A Regra do Poder nos diz que se temos uma função do tipo
, onde
é uma constante, a derivada dela é
. No nosso caso,
e
.
Passo 4
Aplicando a Regra do Poder, a derivada de
fica:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a derivada de
. Para isso, usamos a Regra da Cadeia novamente. A derivada de
em relação a
é
, então:
Passo 6
Derivando
em relação a
, obtemos:
Passo 7
Substituindo essa derivada de volta na expressão anterior:
Passo 8
Agora, voltando à expressão da derivada de
:
Passo 9
Simplificando os termos, multiplicamos os coeficientes:
Resposta
A derivada da função é:
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A população de uma pequena cidade é dada por
onde
é o tempo en anos. Calcule os valores da população depois de 2, 4, 6 anos, e as taxas instantâneas de crescimento para esses mesmos valores de
. Suponha que a taxa se estabilize a partir de
, qual será a população ao final de 10 anos? Compare esse valor com o valor real
.
Calcule as derivadas das funções abaixo
Calcule as derivadas abaixo:
(b)
(b)