Calcule as derivadas das funções abaixo

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia e a derivação de funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que está sendo derivada. Temos uma função composta: uma função externa que é e uma função interna .

Passo 3

Aplicaremos a regra da cadeia para derivar funções compostas. A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta onde , é .

Passo 4

Primeiro, vamos calcular , a derivada da função externa em relação a . Temos , então:

Passo 5

Agora, vamos calcular , a derivada da função interna em relação a . Temos . Usaremos a regra do quociente para derivar isso:

Passo 6

Agora, aplicando a regra da cadeia, multiplicamos por :

Passo 7

Lembrando que , substituímos de volta:

Passo 8

Podemos simplificar a expressão utilizando propriedades dos expoentes:
Portanto:

Resposta

A derivada da função é:

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A população de uma pequena cidade é dada por
onde é o tempo en anos. Calcule os valores da população depois de 2, 4, 6 anos, e as taxas instantâneas de crescimento para esses mesmos valores de . Suponha que a taxa se estabilize a partir de , qual será a população ao final de 10 anos? Compare esse valor com o valor real .
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