Calcule as derivadas das funções abaixo
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função
. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia e a derivação de funções racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que está sendo derivada. Temos uma função composta: uma função externa que é
e uma função interna
.
Passo 3
Aplicaremos a regra da cadeia para derivar funções compostas. A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta
onde
, é
.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular
, a derivada da função externa em relação a
. Temos
, então:
Passo 5
Agora, vamos calcular
, a derivada da função interna em relação a
. Temos
. Usaremos a regra do quociente para derivar isso:
Passo 6
Agora, aplicando a regra da cadeia, multiplicamos
por
:
Passo 7
Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 8
Podemos simplificar a expressão utilizando propriedades dos expoentes:
Portanto:
Resposta
A derivada da função é:
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A população de uma pequena cidade é dada por
onde
é o tempo en anos. Calcule os valores da população depois de 2, 4, 6 anos, e as taxas instantâneas de crescimento para esses mesmos valores de
. Suponha que a taxa se estabilize a partir de
, qual será a população ao final de 10 anos? Compare esse valor com o valor real
.
Calcule as derivadas das funções abaixo
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