A população de uma pequena cidade é dada por
P(t) = 10000 + t^2/4 + 30t
onde t é o tempo en anos. Calcule os valores da população depois de 2, 4, 6 anos, e as taxas instantâneas de crescimento para esses mesmos valores de t. Suponha que a taxa se estabilize a partir de t = 6, qual será a população ao final de 10 anos? Compare esse valor com o valor real P(10).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a população de uma cidade ao longo do tempo, dada por uma função matemática. A gente precisa calcular a população após 2, 4 e 6 anos, descobrir as taxas de crescimento nesses momentos e, depois, prever a população aos 10 anos assumindo que a taxa de crescimento se estabiliza depois de 6 anos. Para isso, vamos usar conceitos de funções e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a população após 2 anos. A fórmula é:
Substituindo :

Passo 3

Agora, vamos para 4 anos:

Passo 4

E para 6 anos:

Passo 5

Para encontrar as taxas instantâneas de crescimento nesses anos, precisamos calcular a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da população em relação ao tempo. Vamos derivar :
Derivando em relação a :
Agora, substituindo os valores de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Agora, vamos supor que a taxa de crescimento se estabiliza a partir de , ou seja, para . Para encontrar a população aos 10 anos, usamos a taxa constante a partir de :

Passo 7

Por fim, vamos comparar com o valor real de usando a fórmula original:

Resposta

Após 2, 4 e 6 anos, as populações são 10.061, 10.124 e 10.189, respectivamente. As taxas de crescimento nesses tempos são 31, 32 e 33 habitantes por ano. Assumindo que a taxa se estabiliza em 33 habitantes por ano após 6 anos, a população aos 10 anos será 10.321. Comparando com o valor real de 10.325, vemos que a previsão está bem próxima do valor real.

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