Calcule as derivadas das funções abaixo
x = t * e^(1/t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa calcular a derivada da função . Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos precisar lembrar como aplicar essas regras para encontrar a derivada.

Passo 2

Primeiro, identifique que a função é o produto de duas funções: e . Para derivar o produto de duas funções, usamos a Regra do Produto, que diz que:

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . É bem simples:

Passo 4

Agora, vamos derivar . Para isso, usamos a Regra da Cadeia, que é usada para derivar funções compostas. Se temos , a derivada é .
Aqui, , então precisamos encontrar :
Então, aplicando a regra da cadeia:

Passo 5

Agora que temos e , vamos aplicar a Regra do Produto:

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão:
Podemos fatorar :

Resposta

A derivada da função é:

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