Calcule as derivadas das funçōes abaixo.
f(x) = ln(e^x * cos(x))

Passo 1

Estamos vendo a função e precisamos encontrar a sua derivada. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas de logaritmos, exponenciais e funções trigonométricas. Vamos precisar conhecer as propriedades dos logaritmos e as regras de derivação para aplicar corretamente na resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma propriedade dos logaritmos que diz que o logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos. Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos derivar cada termo separadamente. A derivada de em relação a é:
Aqui, usamos a regra da cadeia, onde a derivada de é .

Passo 4

Em seguida, vamos derivar :
Nessa parte, aplicamos novamente a regra da cadeia. A derivada de é , e sabemos que .

Resposta

Portanto, a derivada da função é:

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