Calcule as derivadas das funçōes abaixo.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a derivada da função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como a regra da cadeia e a regra do quociente. Essas ferramentas nos vão ajudar a encontrar a taxa de variação dessa função em relação a
.
Passo 2
Vamos reescrever a função de uma maneira que facilite a derivação. A raiz quadrada pode ser representada como uma potência fracionária:
Passo 3
Agora, aplicamos a regra da cadeia, que é usada para derivar funções compostas. A regra diz que se temos uma função do tipo
, sua derivada é:
No nosso caso,
e
.
Passo 4
Precisamos agora encontrar a derivada de
, que é uma função quociente. Para isso, usamos a regra do quociente, que afirma:
Aqui, vamos identificar
e
.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de
e
:
Passo 6
Substituindo
e
na regra do quociente, temos:
Vamos simplificar o numerador:
Portanto:
Passo 7
Voltando à regra da cadeia, substituímos
na expressão da derivada de
:
Passo 8
Vamos simplificar essa expressão para deixar a derivada mais clara:
Isso pode ser reescrito como:
Resposta
A derivada da função é