Calcule as derivadas das funçōes abaixo.
f(x) = raiz((x^3 - 3) / (x^2 - 2))

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a derivada da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como a regra da cadeia e a regra do quociente. Essas ferramentas nos vão ajudar a encontrar a taxa de variação dessa função em relação a .

Passo 2

Vamos reescrever a função de uma maneira que facilite a derivação. A raiz quadrada pode ser representada como uma potência fracionária:

Passo 3

Agora, aplicamos a regra da cadeia, que é usada para derivar funções compostas. A regra diz que se temos uma função do tipo , sua derivada é:
No nosso caso, e .

Passo 4

Precisamos agora encontrar a derivada de , que é uma função quociente. Para isso, usamos a regra do quociente, que afirma:
Aqui, vamos identificar e .

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de e :

Passo 6

Substituindo e na regra do quociente, temos:
Vamos simplificar o numerador:
Portanto:

Passo 7

Voltando à regra da cadeia, substituímos na expressão da derivada de :

Passo 8

Vamos simplificar essa expressão para deixar a derivada mais clara:
Isso pode ser reescrito como:

Resposta

A derivada da função é

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