Calcule as derivadas das funções abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada da função . Isso está na área de Cálculo Diferencial, especificamente envolvendo derivadas de funções compostas e produtos. Para resolver isso, vamos usar a Regra do Produto e a Regra da Cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes que estão sendo multiplicadas na função. Podemos pensar em como o produto de duas funções:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de e separadamente.
Para , usamos a Regra da Cadeia. A derivada de é .
Então,
Porque a derivada de é 3.

Passo 4

Para , a derivada é bem direta:

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra do Produto, que diz que a derivada de é:
Substituindo as derivadas que calculamos:

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão:
Primeiro, distribua o pelo :
E mantenha o segundo termo:
Para somar essas frações, vamos colocá-las com o mesmo denominador:
Agora, simplificamos o numerador:
Então, a derivada fica:

Resposta

A derivada da função é:

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Calcule as derivadas das funções abaixo:
Dadas as funções abaixo, explicite o domínio, localize suas raízes, determine os intervalos de crescimento e decrescimento, estude a concavidade, destaque os pontos de inflexão, determine as assíntotas (caso existam) e esboce o gráfico (calcule todos os limites necessários):
(a)
(*) Resolva o seguinte problema de valor inicial
Resposta:
Calcule as derivadas das funções abaixo: