Dadas as funções abaixo, explicite o domínio, localize suas raízes, determine os intervalos de crescimento e decrescimento, estude a concavidade, destaque os pontos de inflexão, determine as assíntotas (caso existam) e esboce o gráfico (calcule todos os limites necessários):
(a)
(a)
Passo 1
Então, temos a função
. A gente vai analisar vários aspectos dessa função: qual é o seu domínio, onde ela corta o eixo x (raízes), onde está crescendo ou decrescendo, a concavidade, pontos de inflexão, possíveis assíntotas e, por fim, esboçar o gráfico. Para tudo isso, vamos usar conceitos de álgebra e cálculo, como derivadas e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Como
é um polinômio, não tem divisões por zero nem raízes de números negativos, então o domínio é todo o conjunto dos números reais.
Domínio:
(todos os números reais)
Passo 3
Vamos localizar as raízes da função, ou seja, os valores de
que fazem
.
Temos:
Podemos fatorar:
Agora, resolvemos cada fator:
e
Resolvendo essa equação quadrática:
Portanto, as raízes são
e
(com multiplicidade 2).
Passo 4
Vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Para isso, usamos a derivada primeira, que nos indica a inclinação da função.
Primeiro, calculamos a derivada de
:
Agora, encontramos onde a derivada é zero para encontrar os pontos críticos:
Resolvendo:
Agora, analisamos o sinal da derivada em cada intervalo determinado por esses pontos:
- Para
: Escolhemos ,
- Para
: Escolhemos ,
- Para
: Escolhemos ,
Passo 5
Agora, vamos estudar a concavidade da função usando a segunda derivada.
Calculamos a segunda derivada de
:
Vamos ver onde
é positiva (função côncava para cima) ou negativa (côncava para baixo).
Resolvemos
:
Então:
- Para
: Concava para baixo - Para
: Concava para cima
Passo 6
Vamos identificar os pontos de inflexão, onde a concavidade muda.
Conforme vimos, a concavidade muda em
. Então, basta achar o valor de
:
Portanto, o ponto de inflexão é
.
Passo 7
Vamos verificar se há assíntotas na função.
Como
é um polinômio de grau 3, não há assíntotas verticais ou horizontais. Assíntotas oblíquas são para funções racionais onde o grau do numerador é exatamente um a mais que o denominador, o que não é o caso aqui.
Conclusão: Não há assíntotas.
Passo 8
Para esboçar o gráfico, vamos considerar todas as informações que encontramos:
- Dominio:
- Raízes:
e - Crescimento:
e - Decrescimento:
- Concavidade:
- Para
: Concava para baixo - Para
: Concava para cima
- Para
- Ponto de inflexão:
Também podemos observar o comportamento da função para valores extremos de
:
Com isso, conseguimos traçar o gráfico mostrando os intervalos de crescimento e decrescimento, a concavidade, o ponto de inflexão e as raízes.
Resposta
A função
tem domínio em todos os reais, raízes em
e
, está crescendo nos intervalos
e
, decrescendo em
, é côncava para baixo em
e para cima em
com ponto de inflexão em
. Não possui assíntotas. O gráfico reflete esses comportamentos conforme detalhado nos passos anteriores.
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Obtenha soluções particulares para as equações pelo método dos coeficientes a determinar.
(a)
(a)
(b)
©
(d)
(f)
(h)
(i)
Respostas:
(a)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
$$
\frac{d u}{d t}=\frac{t^{2}+t u(t)+u(t){2}}{t{2}}, \quad u(1)=1
u(t)=t \operatorname{tg}\left(\log (t)+\frac{\pi}{4}\right)$$
$$
f(t, u(t))=f\left(t, t \frac{u(t)}{t}\right)=f\left(1, \frac{u(t)}{t}\right)=h\left(\frac{u(t)}{t}\right)$$
Calcule as derivadas das funções abaixo:
Calcule as derivadas das funções abaixo: