Dadas as funções abaixo, explicite o domínio, localize suas raízes, determine os intervalos de crescimento e decrescimento, estude a concavidade, destaque os pontos de inflexão, determine as assíntotas (caso existam) e esboce o gráfico (calcule todos os limites necessários):
(a)

Passo 1

Então, temos a função . A gente vai analisar vários aspectos dessa função: qual é o seu domínio, onde ela corta o eixo x (raízes), onde está crescendo ou decrescendo, a concavidade, pontos de inflexão, possíveis assíntotas e, por fim, esboçar o gráfico. Para tudo isso, vamos usar conceitos de álgebra e cálculo, como derivadas e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Como é um polinômio, não tem divisões por zero nem raízes de números negativos, então o domínio é todo o conjunto dos números reais.
Domínio: (todos os números reais)

Passo 3

Vamos localizar as raízes da função, ou seja, os valores de que fazem .
Temos:
Podemos fatorar:
Agora, resolvemos cada fator:
e
Resolvendo essa equação quadrática:
Portanto, as raízes são e (com multiplicidade 2).

Passo 4

Vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Para isso, usamos a derivada primeira, que nos indica a inclinação da função.
Primeiro, calculamos a derivada de :
Agora, encontramos onde a derivada é zero para encontrar os pontos críticos:
Resolvendo:
Agora, analisamos o sinal da derivada em cada intervalo determinado por esses pontos:
  • Para : Escolhemos ,
  • Para : Escolhemos ,
  • Para : Escolhemos ,

Passo 5

Agora, vamos estudar a concavidade da função usando a segunda derivada.
Calculamos a segunda derivada de :
Vamos ver onde é positiva (função côncava para cima) ou negativa (côncava para baixo).
Resolvemos :
Então:
  • Para : Concava para baixo
  • Para : Concava para cima

Passo 6

Vamos identificar os pontos de inflexão, onde a concavidade muda.
Conforme vimos, a concavidade muda em . Então, basta achar o valor de :
Portanto, o ponto de inflexão é .

Passo 7

Vamos verificar se há assíntotas na função.
Como é um polinômio de grau 3, não há assíntotas verticais ou horizontais. Assíntotas oblíquas são para funções racionais onde o grau do numerador é exatamente um a mais que o denominador, o que não é o caso aqui.
Conclusão: Não há assíntotas.

Passo 8

Para esboçar o gráfico, vamos considerar todas as informações que encontramos:
  • Dominio:
  • Raízes: e
  • Crescimento: e
  • Decrescimento:
  • Concavidade:
    • Para : Concava para baixo
    • Para : Concava para cima
  • Ponto de inflexão:
Também podemos observar o comportamento da função para valores extremos de :
Com isso, conseguimos traçar o gráfico mostrando os intervalos de crescimento e decrescimento, a concavidade, o ponto de inflexão e as raízes.

Resposta

A função tem domínio em todos os reais, raízes em e , está crescendo nos intervalos e , decrescendo em , é côncava para baixo em e para cima em com ponto de inflexão em . Não possui assíntotas. O gráfico reflete esses comportamentos conforme detalhado nos passos anteriores.

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Obtenha soluções particulares para as equações pelo método dos coeficientes a determinar.
(a)
(b)
©
(d)
(f)
(h)
(i)
Respostas:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
$$
\frac{d u}{d t}=\frac{t^{2}+t u(t)+u(t){2}}{t{2}}, \quad u(1)=1 íçã
u(t)=t \operatorname{tg}\left(\log (t)+\frac{\pi}{4}\right)$$
$$
f(t, u(t))=f\left(t, t \frac{u(t)}{t}\right)=f\left(1, \frac{u(t)}{t}\right)=h\left(\frac{u(t)}{t}\right)$$
Calcule as derivadas das funções abaixo:
Calcule as derivadas das funções abaixo: