(*) Resolva o seguinte problema de valor inicial
Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O objetivo aqui é resolver essa equação para encontrar a função . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares e métodos de resolução de equações características. Vamos passo a passo entender como chegar na solução final.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que temos:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação junto com as condições iniciais dadas.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos procurar soluções do tipo exponencial, ou seja, assumimos que a solução tem a forma , onde é uma constante que precisamos determinar. Vamos substituir essa forma na equação diferencial.
Primeiro, calculemos as derivadas:
Substituindo na equação original:
Podemos fatorar (que nunca é zero):
Então, temos:

Passo 4

Agora, precisamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . A equação é:
Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e . Substituindo:
Como temos a raiz de um número negativo, as soluções serão complexas:

Passo 5

Quando as raízes são complexas da forma , a solução geral da equação diferencial é:
No nosso caso, e . Então, a solução geral fica:

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para determinar as constantes e . As condições são:
Primeiro, aplicamos na solução geral:
Então, .

Passo 7

Agora, vamos calcular a derivada da solução geral para aplicar a segunda condição:
Simplificando e avaliando em :
Substituindo :

Resposta

Finalmente, substituindo e na solução geral, temos:

Exercícios relacionados

Calcule as derivadas das funções abaixo:
Calcule as derivadas das funções abaixo:
Calcule as derivadas das funções abaixo:
Calcule as derivadas: