(*) Resolva o seguinte problema de valor inicial
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O objetivo aqui é resolver essa equação para encontrar a função
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares e métodos de resolução de equações características. Vamos passo a passo entender como chegar na solução final.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que temos:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação junto com as condições iniciais dadas.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos procurar soluções do tipo exponencial, ou seja, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que precisamos determinar. Vamos substituir essa forma na equação diferencial.
Primeiro, calculemos as derivadas:
Substituindo na equação original:
Podemos fatorar
(que nunca é zero):
Então, temos:
Passo 4
Agora, precisamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. A equação é:
Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
. Substituindo:
Como temos a raiz de um número negativo, as soluções serão complexas:
Passo 5
Quando as raízes são complexas da forma
, a solução geral da equação diferencial é:
No nosso caso,
e
. Então, a solução geral fica:
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para determinar as constantes
e
. As condições são:
Primeiro, aplicamos
na solução geral:
Então,
.
Passo 7
Agora, vamos calcular a derivada da solução geral para aplicar a segunda condição:
Simplificando e avaliando em
:
Substituindo
:
Resposta
Finalmente, substituindo
e
na solução geral, temos:
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