Cálcule as derivadas das funções abaixo. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Esse exercício está na matéria de Cálculo Diferencial, mais especificamente no estudo de derivadas compostas usando a regra da cadeia. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas inversas e funções de raiz quadrada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que compõem essa composição. Podemos ver que dentro do temos uma função . Vamos chamar essa parte interna de :
Agora, queremos encontrar a derivada de em relação a .

Passo 3

Calculando a derivada de em relação a :
Aqui usamos a regra da cadeia para derivar a raiz quadrada.

Passo 4

Agora, vamos derivar a função externa, que é , em relação a :
Essa é a derivada padrão da função arco cosseno.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de em relação a é o produto das derivadas que encontramos:
Agora, substituímos de volta para termos a expressão em função de :
Simplificando dentro da raiz:
Então:

Resposta

A derivada da função é:

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