Cálcule as derivadas das funções abaixo.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função
. Esse exercício está na matéria de Cálculo Diferencial, mais especificamente no estudo de derivadas compostas usando a regra da cadeia. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas inversas e funções de raiz quadrada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que compõem essa composição. Podemos ver que dentro do
temos uma função
. Vamos chamar essa parte interna de
:
Agora, queremos encontrar a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Calculando a derivada de
em relação a
:
Aqui usamos a regra da cadeia para derivar a raiz quadrada.
Passo 4
Agora, vamos derivar a função externa, que é
, em relação a
:
Essa é a derivada padrão da função arco cosseno.
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia, a derivada de
em relação a
é o produto das derivadas que encontramos:
Agora, substituímos
de volta para termos a expressão em função de
:
Simplificando dentro da raiz:
Então:
Resposta
A derivada da função
é:
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