Cálcule as derivadas das funções abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função . Aqui, estamos trabalhando com derivadas, especificamente usando a regra da cadeia, que é super útil quando temos funções compostas, ou seja, uma função dentro da outra. Vamos precisar lembrar como derivar a função arco-tangente ( ) e a função logarítmica ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função. Temos , onde e . Isso significa que temos uma função dentro da outra: a arco-tangente de um logaritmo de uma função quadrática.

Passo 3

Para encontrar a derivada de , vamos usar a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa vezes a derivada da função interna. Ou seja:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar . Sabemos que , então:

Passo 5

Vamos calcular . Como , sua derivada é:

Passo 6

Substituindo na expressão de :

Passo 7

Agora, voltando à derivada de :

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Cálcule as derivadas das funções abaixo. ;
Encontre as equações das retas tangentes às curvas nos pontos indicados: no ponto ;
Cálcule as derivadas das funções abaixo. ;
Cálcule as derivadas das funções abaixo. .