Cálcule as derivadas das funções abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função
. Aqui, estamos trabalhando com derivadas, especificamente usando a regra da cadeia, que é super útil quando temos funções compostas, ou seja, uma função dentro da outra. Vamos precisar lembrar como derivar a função arco-tangente (
) e a função logarítmica (
).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função. Temos
, onde
e
. Isso significa que temos uma função dentro da outra: a arco-tangente de um logaritmo de uma função quadrática.
Passo 3
Para encontrar a derivada de
, vamos usar a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa vezes a derivada da função interna. Ou seja:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar
. Sabemos que
, então:
Passo 5
Vamos calcular
. Como
, sua derivada é:
Passo 6
Substituindo
na expressão de
:
Passo 7
Agora, voltando à derivada de
:
Resposta
A derivada da função
é:
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Encontre as equações das retas tangentes às curvas nos pontos indicados:
no ponto
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