Cálcule as derivadas das funções abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa calcular a sua derivada. Isso faz parte do cálculo diferencial, mais especificamente usando a Regra da Cadeia, que é usada quando temos uma função dentro de outra função. Para resolver, vamos precisar entender como derivar funções trigonométricas e como aplicar essa regra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função. A função principal aqui é o seno, ou seja, , onde . Para derivar , usamos a regra da derivada das funções trigonométricas básicas.

Passo 3

Sabemos que a derivada de em relação a é , ou seja:
Mas como nosso também depende de , precisamos aplicar a Regra da Cadeia para encontrar a derivada em relação a .

Passo 4

A Regra da Cadeia nos diz que:
Já sabemos que . Agora, vamos calcular , que é a derivada de em relação a .

Passo 5

Calculando :
Então, temos que .

Passo 6

Agora, aplicando a Regra da Cadeia:
Lembrando que , substituímos de volta na expressão.

Passo 7

Substituindo na expressão da derivada:

Resposta

A derivada da função é:

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