Cálcule as derivadas das funções abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa calcular a sua derivada. Isso faz parte do cálculo diferencial, mais especificamente usando a Regra da Cadeia, que é usada quando temos uma função dentro de outra função. Para resolver, vamos precisar entender como derivar funções trigonométricas e como aplicar essa regra.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função. A função principal aqui é o seno, ou seja,
, onde
. Para derivar
, usamos a regra da derivada das funções trigonométricas básicas.
Passo 3
Sabemos que a derivada de
em relação a
é
, ou seja:
Mas como nosso
também depende de
, precisamos aplicar a Regra da Cadeia para encontrar a derivada em relação a
.
Passo 4
A Regra da Cadeia nos diz que:
Já sabemos que
. Agora, vamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
.
Passo 5
Calculando
:
Então, temos que
.
Passo 6
Agora, aplicando a Regra da Cadeia:
Lembrando que
, substituímos de volta na expressão.
Passo 7
Substituindo
na expressão da derivada:
Resposta
A derivada da função
é:
Exercícios relacionados
Calcular as derivadas parciais de
e
.
Determine as derivadas parciais indicadas.
Cálcule as derivadas das funções abaixo.
Encontre as equações das retas tangentes às curvas nos pontos indicados:
no ponto
;