Determine as derivadas parciais indicadas.

Passo 1

Então, a gente tem o exercício que pede pra calcular duas derivadas parciais da função . Vamos usar conhecimentos de cálculo diferencial, mais especificamente de derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular derivadas de funções com várias variáveis e aplicar algumas regras básicas de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de segunda ordem em relação a , ou seja, . Para isso, vamos começar encontrando a primeira derivada parcial de em relação a .
A função é . Podemos reescrever isso como .
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos derivar novamente em relação a para encontrar :
Usando a regra do quociente e a regra da cadeia, temos:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial mista , que significa derivar primeiro em relação a e depois em relação a .
Primeiro, encontramos :
Agora, derivamos em relação a :
Aplicando a regra da cadeia:

Resposta

As derivadas parciais solicitadas são:
e

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Determine as derivadas parciais indicadas.
Calcule os limites abaixo com o auxílio da Regra de L(b)
Calcular as derivadas parciais de e .
Cálcule as derivadas das funções abaixo.