Calcule as derivadas das funções abaixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada da função
. Isso envolve cálculo diferencial, especificamente as regras de derivação para funções compostas e produtos. Vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas partes da nossa função que estão multiplicadas. Podemos chamar:
Então, nossa função
é o produto dessas duas:
.
Passo 3
Agora, para derivar
, vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de um produto de duas funções é:
Isso significa que a gente precisa encontrar as derivadas de
e
individualmente.
Passo 4
Vamos derivar
. Aqui, usamos a regra da cadeia, que é para funções compostas. A regra da cadeia diz que a derivada de
é
.
Então, aplicando isso:
Calculando a derivada dentro:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos derivar
. Novamente, usamos a regra da cadeia, já que temos uma função exponencial composta.
A derivada de
é
. Aqui,
, então:
Passo 6
Agora que temos
e
, vamos colocar tudo na fórmula da regra do produto:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 7
Podemos simplificar a expressão fatorando termos comuns. Observamos que
e
são comuns nos dois termos:
Distribuindo dentro do colchete:
Então, a expressão fica:
Resposta
A derivada da função
é:
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Seja
Esboce o gráfico de
.
Determine
e
Calcule as derivadas das funções abaixo
A população de uma pequena cidade é dada por
onde
é o tempo en anos. Calcule os valores da população depois de 2, 4, 6 anos, e as taxas instantâneas de crescimento para esses mesmos valores de
. Suponha que a taxa se estabilize a partir de
, qual será a população ao final de 10 anos? Compare esse valor com o valor real
.