Calcule as derivadas das funções abaixo

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada da função . Isso envolve cálculo diferencial, especificamente as regras de derivação para funções compostas e produtos. Vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da nossa função que estão multiplicadas. Podemos chamar:
Então, nossa função é o produto dessas duas: .

Passo 3

Agora, para derivar , vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de um produto de duas funções é:
Isso significa que a gente precisa encontrar as derivadas de e individualmente.

Passo 4

Vamos derivar . Aqui, usamos a regra da cadeia, que é para funções compostas. A regra da cadeia diz que a derivada de é .
Então, aplicando isso:
Calculando a derivada dentro:
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos derivar . Novamente, usamos a regra da cadeia, já que temos uma função exponencial composta.
A derivada de é . Aqui, , então:

Passo 6

Agora que temos e , vamos colocar tudo na fórmula da regra do produto:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 7

Podemos simplificar a expressão fatorando termos comuns. Observamos que e são comuns nos dois termos:
Distribuindo dentro do colchete:
Então, a expressão fica:

Resposta

A derivada da função é:

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Seja
Esboce o gráfico de .
Determine e
Calcule as derivadas das funções abaixo
A população de uma pequena cidade é dada por
onde é o tempo en anos. Calcule os valores da população depois de 2, 4, 6 anos, e as taxas instantâneas de crescimento para esses mesmos valores de . Suponha que a taxa se estabilize a partir de , qual será a população ao final de 10 anos? Compare esse valor com o valor real .