Calcule as derivadas das funções abaixo

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função . Aqui, a matéria que estamos trabalhando é Cálculo Diferencial, especificamente o cálculo de derivadas de funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar uma função da forma , onde é uma constante.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a regra para derivar funções exponenciais. A derivada de em relação a é multiplicado pelo logaritmo natural de . Em fórmula:
Isso significa que, para qualquer base , a derivada simplesmente multiplica a função original pelo logaritmo natural da base.

Passo 3

Aplicando essa regra à nossa função , substituímos por 5 na fórmula da derivada:

Resposta

A derivada da função é .

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Seja
Esboce o gráfico de .
A população de uma pequena cidade é dada por
onde é o tempo en anos. Calcule os valores da população depois de 2, 4, 6 anos, e as taxas instantâneas de crescimento para esses mesmos valores de . Suponha que a taxa se estabilize a partir de , qual será a população ao final de 10 anos? Compare esse valor com o valor real .
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