Seja
Esboce o gráfico de
.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função chamada
, que é definida de maneira diferente dependendo do valor de
. Se
for menor que 1, usamos
, que é uma parábola. Se
for maior ou igual a 1, usamos
, que é uma linha reta. Para esboçar o gráfico de
, precisamos desenhar essas duas partes separadamente e ver como elas se juntam no ponto onde
.
Passo 2
Vamos começar desenhando a parte da função onde
. A função é
, que é uma parábola que abre para cima. Para desenhar essa parábola, podemos calcular alguns valores de
menores que 1 e ver quais são os correspondentes valores de
.
Por exemplo:
- Se
, então - Se
, então - Se
, então
Assim, temos alguns pontos para a parábola quando
.
Passo 3
Agora, vamos desenhar a parte da função onde
. Aqui, a função é
, que é uma linha reta com inclinação 2 e intercepta o eixo
em 1. Para desenhar essa linha, também podemos calcular alguns valores de
maiores ou iguais a 1.
Por exemplo:
- Se
, então - Se
, então - Se
, então
Estes pontos nos ajudam a desenhar a linha reta para
.
Passo 4
Vamos verificar o ponto onde as duas partes da função se encontram, isto é, quando
. Substituindo
nas duas fórmulas:
- Pela primeira parte (
): - Pela segunda parte (
):
Como ambos dão
, isso significa que o gráfico das duas partes se encontram exatamente no ponto
. Isso garante que o gráfico seja contínuo nesse ponto.
Passo 5
Finalmente, para esboçar o gráfico de
, fazemos o seguinte:
- Desenhamos a parábola
para todos os menores que 1, passando pelos pontos , e . - Desenhamos a linha reta
para todos os maiores ou iguais a 1, passando pelos pontos , e . - Garantimos que as duas partes se conectam no ponto
.
Dessa forma, o gráfico de
será uma parábola que se liga suavemente a uma linha reta no ponto onde
.
Resposta
O gráfico de
consiste em uma parábola
para
que se conecta de forma contínua a uma linha reta
para
, unindo-se no ponto
.
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e
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