Seja
Esboce o gráfico de .

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função chamada , que é definida de maneira diferente dependendo do valor de . Se for menor que 1, usamos , que é uma parábola. Se for maior ou igual a 1, usamos , que é uma linha reta. Para esboçar o gráfico de , precisamos desenhar essas duas partes separadamente e ver como elas se juntam no ponto onde .

Passo 2

Vamos começar desenhando a parte da função onde . A função é , que é uma parábola que abre para cima. Para desenhar essa parábola, podemos calcular alguns valores de menores que 1 e ver quais são os correspondentes valores de .
Por exemplo:
  • Se , então
  • Se , então
  • Se , então
Assim, temos alguns pontos para a parábola quando .

Passo 3

Agora, vamos desenhar a parte da função onde . Aqui, a função é , que é uma linha reta com inclinação 2 e intercepta o eixo em 1. Para desenhar essa linha, também podemos calcular alguns valores de maiores ou iguais a 1.
Por exemplo:
  • Se , então
  • Se , então
  • Se , então
Estes pontos nos ajudam a desenhar a linha reta para .

Passo 4

Vamos verificar o ponto onde as duas partes da função se encontram, isto é, quando . Substituindo nas duas fórmulas:
  • Pela primeira parte ( ):
  • Pela segunda parte ( ):
Como ambos dão , isso significa que o gráfico das duas partes se encontram exatamente no ponto . Isso garante que o gráfico seja contínuo nesse ponto.

Passo 5

Finalmente, para esboçar o gráfico de , fazemos o seguinte:
  • Desenhamos a parábola para todos os menores que 1, passando pelos pontos , e .
  • Desenhamos a linha reta para todos os maiores ou iguais a 1, passando pelos pontos , e .
  • Garantimos que as duas partes se conectam no ponto .
Dessa forma, o gráfico de será uma parábola que se liga suavemente a uma linha reta no ponto onde .

Resposta

O gráfico de consiste em uma parábola para que se conecta de forma contínua a uma linha reta para , unindo-se no ponto .

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