Calcule as derivadas das funções abaixo

Passo 1

Beleza! A gente vai calcular a derivada da função . Aqui estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com a regra da cadeia, que é essencial para derivar funções compostas como essa. A gente vai precisar entender como aplicar essa regra passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a visualização das partes que vamos derivar:
Aqui, vemos que temos uma função externa e uma função interna .

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia, que diz que a derivada de uma função composta é . Nesse caso, e .

Passo 4

Vamos derivar a função externa :

Passo 5

Agora, derivamos a função interna :
  • A derivada de é .
  • Para derivar , usamos novamente a regra da cadeia:
Então, a derivada de é:

Passo 6

Finalmente, aplicamos a regra da cadeia:

Resposta

A derivada da função é:

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Encontre .
.
Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras, justificando as respostas, isto é, exibindo uma prova nos casos verdadeiros e dando um contraexemplo nos casos falsos. (Atenção: você pode assumir verdadeiras as propriedades de limites vistas em sala de aula.) Se existe e não existe , então não existe .