Encontre .
.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar a função sabendo que a sua terceira derivada em relação a é igual a . Ou seja, temos:
Aqui, é uma constante, então também é uma constante em relação a . Para encontrar , vamos precisar integrar essa expressão três vezes, já que estamos lidando com a terceira derivada.

Passo 2

Primeira integração: Vamos integrar uma vez para encontrar a segunda derivada .
Como é uma constante, a integral de uma constante em relação a é , onde é a constante de integração. Então:

Passo 3

Segunda integração: Agora, vamos integrar para encontrar a primeira derivada .
Vamos integrar termo a termo:
  1. A integral de em relação a é .
  2. A integral de em relação a é .
Então:
onde é outra constante de integração.

Passo 4

Terceira integração: Por fim, vamos integrar para encontrar a função original .
Mais uma vez, integramos termo a termo:
  1. A integral de é .
  2. A integral de é .
  3. A integral de é .
Adicionamos a constante de integração final :

Resposta

A função procurada é:
onde , e são constantes de integração.

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Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras, justificando as respostas, isto é, exibindo uma prova nos casos verdadeiros e dando um contraexemplo nos casos falsos. (Atenção: você pode assumir verdadeiras as propriedades de limites vistas em sala de aula.) Se existe e não existe , então não existe .
Seja . Determine o(s) ponto(s) do gráfico que que tem reta tangente paralela ao eixo .