Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras, justificando as respostas, isto é, exibindo uma prova nos casos verdadeiros e dando um contraexemplo nos casos falsos. (Atenção: você pode assumir verdadeiras as propriedades de limites vistas em sala de aula.) Se existe e não existe , então não existe .

Passo 1

Resumo do Problema e Conteúdo:
Estamos analisando a seguinte afirmação:
Se existe e não existe , então não existe .
Essa questão está relacionada ao estudo de limites de funções, um tópico fundamental em Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como os limites se comportam quando combinamos duas funções, especialmente quando uma delas tem um limite definido e a outra não.

Passo 2

Entendendo os Limites das Funções:
Primeiro, vamos relembrar o que significa o limite de uma função. Dizemos que se, à medida que se aproxima de , os valores de se aproximam de .
Agora, se temos que e não existe, queremos saber se o limite da soma também não existe.

Passo 3

Prova da Afirmação:
Vamos provar que a afirmação é verdadeira. Para isso, vamos usar um método chamado prova por contradição.
  1. Suposição Inicial: Imagine que existe e vamos chamar esse limite de .
  2. Usando a Propriedade dos Limites: Sabemos que:
    Mas nesse caso, já sabemos que .
  3. Substituindo os Valores:
  4. Isolando o Limite de :
  5. Chegando a uma Contradição: A equação acima sugere que existe e é igual a . No entanto, sabemos que não existe. Isso é uma contradição.
  6. Conclusão: Nossa suposição de que existe leva a uma contradição. Portanto, a afirmação original é verdadeira.

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se existe e não existe, então também não existe.

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