Calcule as derivadas das funções abaixo

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar a derivada dessa função em relação a . Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especialmente a regra da cadeia, já que estamos lidando com uma função composta (raiz quadrada de uma soma que inclui uma exponencial). Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções básicas e aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que compõem essa função composta. Podemos ver como uma composição de duas funções:
  1. A função externa:
  2. A função interna:
Para encontrar a derivada de em relação a , usaremos a regra da cadeia, que diz que .

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função externa . Usando a regra de potência, que diz que a derivada de é , temos:

Passo 4

Agora, vamos derivar a função interna . Sabemos que a derivada de em relação a é e a derivada de em relação a é . Assim:

Passo 5

Usando a regra da cadeia, multiplicamos a derivada da função externa pela derivada da função interna:

Passo 6

Lembrando que , substituímos de volta na expressão:

Resposta

A derivada da função em relação a é:

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