Calcule as derivadas das funções abaixo
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar a derivada dessa função em relação a
. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especialmente a regra da cadeia, já que estamos lidando com uma função composta (raiz quadrada de uma soma que inclui uma exponencial). Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções básicas e aplicar a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que compõem essa função composta. Podemos ver
como uma composição de duas funções:
- A função externa:
- A função interna:
Para encontrar a derivada de
em relação a
, usaremos a regra da cadeia, que diz que
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada da função externa
. Usando a regra de potência, que diz que a derivada de
é
, temos:
Passo 4
Agora, vamos derivar a função interna
. Sabemos que a derivada de
em relação a
é
e a derivada de
em relação a
é
. Assim:
Passo 5
Usando a regra da cadeia, multiplicamos a derivada da função externa pela derivada da função interna:
Passo 6
Lembrando que
, substituímos de volta na expressão:
Resposta
A derivada da função
em relação a
é:
Exercícios relacionados
onde
e
são constantes positivas.
a) Resolva o problema de valor inicial para .
a) Resolva o problema de valor inicial para
Construa um problema de valor inicial que descreva a quantidade de contaminante no lago em função do tempo.
Encontre, em função das constantes
e
, a população inicial
abaixo da qual a população se tornará extinta.
a) Faça a substituição
e escreva a EDO correspondente nas variáveis
e
.