onde
e
são constantes positivas.
a) Resolva o problema de valor inicial para
.
a) Resolva o problema de valor inicial para
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que descreve como a quantidade
muda com o tempo
. A equação é:
onde
e
são constantes positivas. Nosso objetivo é resolver essa equação sabendo que no tempo inicial
, a quantidade
é igual a
. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e aplicar uma condição inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que a gente consiga identificar como resolver. A gente tem:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que tem a forma geral:
Aqui,
e
. Para resolver esse tipo de equação, precisamos encontrar um fator integrante.
Passo 3
O fator integrante é uma função que a gente multiplica em toda a equação para facilitar a resolução. Para encontrar o fator integrante
, usamos a fórmula:
Então, multiplicamos toda a equação original por
:
Passo 4
Agora, a esquerda da equação pode ser escrita como a derivada do produto
. Então temos:
Para encontrar
, vamos integrar os dois lados em relação ao tempo
:
A integral de
em relação a
é
, então:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
isolando-a:
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial
:
Então,
.
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial
é:
Exercícios relacionados
Construa um problema de valor inicial que descreva a quantidade de contaminante no lago em função do tempo.
Verdadeiro ou contra-exemplo: Se a série
converge, então
.
Calcule as derivadas das funções abaixo
Encontre, em função das constantes
e
, a população inicial
abaixo da qual a população se tornará extinta.