dP/dt = k P - h
onde k e h são constantes positivas.
a) Resolva o problema de valor inicial para P(0) = P0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que descreve como a quantidade muda com o tempo . A equação é:
onde e são constantes positivas. Nosso objetivo é resolver essa equação sabendo que no tempo inicial , a quantidade é igual a . Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e aplicar uma condição inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que a gente consiga identificar como resolver. A gente tem:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que tem a forma geral:
Aqui, e . Para resolver esse tipo de equação, precisamos encontrar um fator integrante.

Passo 3

O fator integrante é uma função que a gente multiplica em toda a equação para facilitar a resolução. Para encontrar o fator integrante , usamos a fórmula:
Então, multiplicamos toda a equação original por :

Passo 4

Agora, a esquerda da equação pode ser escrita como a derivada do produto . Então temos:
Para encontrar , vamos integrar os dois lados em relação ao tempo :
A integral de em relação a é , então:

Passo 5

Agora, vamos resolver para isolando-a:
Para encontrar a constante , usamos a condição inicial :
Então, .

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial é:

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