Construa um problema de valor inicial que descreva a quantidade de contaminante no lago em função do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente construir um problema de valor inicial que descreva a quantidade de contaminante no lago em função do tempo. Isso significa que vamos usar conceitos de equações diferenciais, que são ferramentas matemáticas para modelar como algo muda ao longo do tempo. Para resolver, a gente vai precisar entender como a quantidade de contaminante varia: se aumenta, diminui, entra, sai, etc.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que queremos modelar: a quantidade de contaminante no lago, que chamaremos de
, onde
é o tempo. Queremos saber como
muda com o tempo.
Passo 3
Agora, precisamos pensar nas taxas de entrada e saída do contaminante no lago. Vamos supor que:
- Taxa de entrada: O contaminante entra no lago a uma taxa constante, digamos
unidades por tempo. - Taxa de saída: O contaminante também sai do lago, mas essa taxa pode depender da quantidade presente. Vamos supor que a saída é proporcional a
, ou seja, , onde é uma constante positiva.
Passo 4
A variação da quantidade de contaminante no lago ao longo do tempo é a diferença entre a taxa de entrada e a taxa de saída. Matemáticamente, isso fica assim:
Aqui,
representa a taxa de variação da quantidade de contaminante com o tempo.
Passo 5
Para completar o problema de valor inicial, precisamos de uma condição inicial, ou seja, o valor de
em um tempo específico, geralmente no tempo inicial
. Vamos supor que no início, no tempo
, o lago já tem uma quantidade inicial de contaminante
.
Resposta
O problema de valor inicial que descreve a quantidade de contaminante no lago em função do tempo é dado por:
Onde:
-
é a quantidade de contaminante no lago no tempo . -
é a taxa constante de entrada do contaminante. -
é a constante que relaciona a taxa de saída com a quantidade presente. -
é a quantidade inicial de contaminante no lago no tempo .
Exercícios relacionados
Verdadeiro ou contra-exemplo: Se a série
converge, então
.
Faça a substituição
e escreva a EDO correspondente nas variáveis
e
.
onde
e
são constantes positivas.
a) Resolva o problema de valor inicial para .
a) Resolva o problema de valor inicial para
Calcule as derivadas das funções abaixo