a) Faça a substituição
e escreva a EDO correspondente nas variáveis
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente fazer uma substituição na equação diferencial dada e reescrevê-la em termos das novas variáveis. A equação original é:
Vamos trabalhar com o conteúdo de equações diferenciais e substituições de variáveis. Precisamos substituir
e expressar tudo em termos de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar
em função de
e
. Sabemos que:
Isso facilita porque agora podemos trabalhar apenas com
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada
em termos de
e
. Vamos derivar
em relação a
:
Então, substituímos
por
na equação original.
Passo 4
Vamos substituir
e
na equação original:
Simplificando cada termo:
Substituindo de volta:
Passo 5
Vamos dividir a equação inteira por
para simplificar:
Distribuindo o
:
Simplificando os termos:
Os
se cancelam:
Passo 6
Vamos isolar o termo com a derivada:
Dividindo ambos os lados por
:
Podemos simplificar o sinal:
Resposta
Após a substituição
, a equação diferencial original se transforma em:
Exercícios relacionados
Encontre, em função das constantes
e
, a população inicial
abaixo da qual a população se tornará extinta.
Calcule as derivadas das funções abaixo
A função
é contínua no ponto
? Justifique.
Calcule os seguintes limites: