a) Faça a substituição e escreva a EDO correspondente nas variáveis e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente fazer uma substituição na equação diferencial dada e reescrevê-la em termos das novas variáveis. A equação original é:
Vamos trabalhar com o conteúdo de equações diferenciais e substituições de variáveis. Precisamos substituir e expressar tudo em termos de e .

Passo 2

Primeiro, vamos expressar em função de e . Sabemos que:
Isso facilita porque agora podemos trabalhar apenas com e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada em termos de e . Vamos derivar em relação a :
Então, substituímos por na equação original.

Passo 4

Vamos substituir e na equação original:
Simplificando cada termo:
Substituindo de volta:

Passo 5

Vamos dividir a equação inteira por para simplificar:
Distribuindo o :
Simplificando os termos:
Os se cancelam:

Passo 6

Vamos isolar o termo com a derivada:
Dividindo ambos os lados por :
Podemos simplificar o sinal:

Resposta

Após a substituição , a equação diferencial original se transforma em:

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Encontre, em função das constantes e , a população inicial abaixo da qual a população se tornará extinta.
Calcule as derivadas das funções abaixo
A função
é contínua no ponto ? Justifique.
Calcule os seguintes limites: