Encontre, em função das constantes e , a população inicial abaixo da qual a população se tornará extinta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar, em função das constantes e , a população inicial abaixo da qual a população vai se extinguir. Isso está relacionado ao estudo de modelos de crescimento populacional, onde analisamos como uma população varia ao longo do tempo com base em certas taxas de crescimento e mortalidade.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender qual modelo estamos usando para descrever o crescimento da população. Uma forma comum é usar a equação diferencial que descreve a taxa de variação da população em relação ao tempo :
Aqui, representa a taxa de crescimento da população, e representa a taxa de mortalidade ou algum fator que reduz a população.
Passo 3
Para encontrar a população crítica abaixo da qual a população se extingue, devemos encontrar o valor de tal que a taxa de variação seja igual a zero. Isso indica um ponto de equilíbrio, onde a população não está crescendo nem diminuindo.
Então, colocamos :
Passo 4
Agora, resolvemos essa equação para :
Dividindo ambos os lados por :
Resposta
A população inicial crítica abaixo da qual a população se tornará extinta é dada por:
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Calcule as derivadas das funções abaixo
A função
é contínua no ponto ? Justifique.