Calcule as derivadas das funções abaixo usando as regras de derivação: f(x) = e^(x / 2) * (x^2 + 5x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de derivadas, especificamente a Regra do Produto. Para isso, vamos precisar saber derivar funções exponenciais e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, identifique as duas partes da função que estão sendo multiplicadas. Vamos chamar:

Passo 3

Agora, vamos derivar cada uma dessas partes separadamente.
  • A derivada de em relação a é . Isso porque a derivada de é , onde .
  • A derivada de em relação a é . Aqui usamos a regra de potência para derivar cada termo.

Passo 4

Aplicando a Regra do Produto, que diz que a derivada de é , temos:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Podemos fatorar para simplificar a expressão:

Passo 6

Simplificando os termos dentro do parênteses:
Então, a derivada fica:

Resposta

A derivada da função é:

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