Calcule as derivadas das funções abaixo usando as regras de derivação:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de derivadas, especificamente aplicando as regras de derivação como a regra da cadeia e a derivada de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como derivar funções compostas e aplicar as fórmulas adequadas para derivadas de potências e funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. A expressão
pode ser interpretada como
, o que simplifica para
.
Passo 3
Agora, precisamos derivar
. Para isso, usaremos a regra da cadeia, que nos permite derivar funções compostas. A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta
é
.
Passo 4
Identificamos o componente externo e o componente interno da nossa função:
- Componente externo:
, onde . - Componente interno:
.
Vamos derivar cada parte separadamente.
Passo 5
Primeiro, derivamos o componente externo
em relação a
:
Passo 6
Em seguida, derivamos o componente interno
em relação a
. Sabemos que a derivada de
em relação a
é
, onde
.
Então,
Portanto,
Passo 7
Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos a derivada do componente externo pela derivada do componente interno:
Passo 8
Simplificando a expressão final:
Resposta
A derivada da função é
.