Calcule as derivadas das funções abaixo usando as regras de derivação: f(x) = cotan^4((2x-3)^2)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de derivadas, especificamente aplicando as regras de derivação como a regra da cadeia e a derivada de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como derivar funções compostas e aplicar as fórmulas adequadas para derivadas de potências e funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. A expressão pode ser interpretada como , o que simplifica para .

Passo 3

Agora, precisamos derivar . Para isso, usaremos a regra da cadeia, que nos permite derivar funções compostas. A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta é .

Passo 4

Identificamos o componente externo e o componente interno da nossa função:
  • Componente externo: , onde .
  • Componente interno: .
Vamos derivar cada parte separadamente.

Passo 5

Primeiro, derivamos o componente externo em relação a :

Passo 6

Em seguida, derivamos o componente interno em relação a . Sabemos que a derivada de em relação a é , onde .
Então,
Portanto,

Passo 7

Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos a derivada do componente externo pela derivada do componente interno:

Passo 8

Simplificando a expressão final:

Resposta

A derivada da função é .

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